Vamos estudar algumas características das funções.
1) Crescimento e decrescimento
Observe as seguintes funções:
I)
Nesta função, temos os seguintes valores:
para x = 1, y = 1;
para x = 2, y = 1,75;
e assim por diante. À medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam, e isso acontece ao longo de toda a função. Assim, podemos classificar a função como crescente.
II)
Nesta função, temos os seguintes valores:
para x = -1, y = 1;
para x = 0, y = 0,5;
e assim por diante. À medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem, e isso acontece ao longo de toda a função. Assim, podemos classificar a função como decrescente.
III)
Observe esta função.
É crescente quando x < 0;
é constante para valores de x que obedeçam à condição 0 < x < 2;
e é decrescente quando x > 2.
2) Raízes de uma função
Os valores de x que anulam uma função, ou seja, para os quais
f (
x) = 0, são chamados de raízes da função. Assim, para acharmos as raízes de uma função, devemos resolver a equação
f (
x) = 0.
Exemplos:
A)
Resolvendo-se a equação
f (
x) = -
x2 + 5
x - 6 = 0, obtemos as raízes 2 e 3, como podemos observar no gráfico.
As raízes da função são os valores onde o gráfico intercepta o eixo horizontal, o eixo das abscissas.
B)
A função
tem as seguintes raízes no intervalo
, conforme observamos no gráfico:
Encontramos esses valores considerando que, se
, então x = 0 ou
.
3) Estudo do sinal de uma função
Quando estudamos os conceitos iniciais sobre funções de R em R, aprendemos que os valores de y são funções dos valores de x. Isso significa que os valores de y são obtidos a partir de valores de x. Em representação matemática,
.
Assim, consideremos o gráfico de uma função traçado no plano cartesiano. No eixo y, são encontrados os valores da função. Logo, para estudarmos o sinal da função, devemos observar o eixo vertical, o eixo das ordenadas.
Acima do eixo x, os valores de y são positivos; abaixo, os valores são negativos; e sobre o eixo x, o valor de y é zero. Considerando que
,o sinal da função será determinado da mesma forma.
Portanto, no intervalo em que a função estiver acima do eixo x, ela é positiva; quando estiver abaixo do eixo x, é negativa. Nos pontos em que o gráfico intercepta o eixo x, a função é nula; como já dissemos antes, esses pontos são chamados de raízes da função.
Exemplo:
É possível observar as três características juntas. Podemos, ao mesmo tempo, encontrar as raízes, analisar o crescimento e o decrescimento da função, e estudar seu sinal.
No exemplo acima, as raízes são
Quanto ao crescimento e decrescimento, a função é crescente até x = -2 e entre 0 e 2, aproximadamente. É decrescente entre -2 e 0 e também após x = 2, aproximadamente.
Quanto ao sinal, a função é positiva para
e
; negativa para
e
; e nula nas raízes.
É importante não confundir crescimento e decrescimento de uma função com o estudo do sinal. No exemplo, observe que a função é crescente e negativa até a primeira raiz, ou seja, a função é crescente e negativa para
.
