Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x
1 e x
2), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da
equação de 2º grau.
Soma das raízes
A primeira relação importante de se destacar é esta:
Em que x
1 e x
2 são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:
Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são:
e
Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:
Logo:
Veja as raízes somadas:
Como denominador é o mesmo fica:
Produto das raízes
Veja como essa relação se comprova:
Lembra-se dos
produtos notáveis?
A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:
Como
então
Simplificando o 4 e o a:
Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).
Recuperando uma equação a partir das raízes
Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax
2 + bx + c = 0.
De:
com
e
Logo, tem-se a equação:
